SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES

Una expresión racional se considera simplificada si el numerador y el denominador no tienen factores en común.

Podemos simplificar expresiones racionales de manera similar a la simplificación de fracciones numéricas.

Por ejemplo, la versión simplificada de $\dfrac 68$start fraction, 6, divided by, 8, end fraction es $\dfrac{3}{4}$start fraction, 3, divided by, 4, end fraction. Observa que cancelamos un factor común de $2$2 en el numerador y en el denominador:

$\begin{aligned} \dfrac68&= \dfrac{2\cdot 3}{2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Factoriza}}} \\\\ &= \dfrac{\tealD{\cancel{2}}\cdot 3}{\tealD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Cancela factores comunes}}} \\ \\ &= \dfrac{3}{4} &&\small{\gray{\text{Simplifica}}} \end{aligned}$

Ejemplo 1: simplificar $\dfrac{x^2+3x}{x^2+5x}$start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction

Paso 1: factoriza el numerador y el denominador
¡La única manera de ver si el numerador y el denominador tienen factores comunes es factorizarlos!

$\dfrac{x^2+3x}{x^2+5x}=\dfrac{ x(x+3)}{ x(x+5)}$start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction, equals, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction

Paso 2: lista los valores restringidos
En este punto es útil observar si hay algunas restricciones para $x$. Estas se heredarán en la expresión simplificada.

Como la división entre no está definida, aquí vemos que $x ≠ 0 y x ≠ -5$

$\dfrac{ x(x+3)}{ \blueD x\purpleC{(x+5)}}$start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, x, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction

Paso 3: cancela factores comunes

Ahora observa que el numerador y el denominador tienen un factor común de $x$. Este se puede cancelar.

Paso 4: respuesta final

Recuerda que la expresión original está definida para $x ≠ 0, -5.$ La expresión simplificada debe tener las mismas restricciones.

Por ello, debemos hacer notar que $x ≠ 0$. No necesitamos agregar que $x ≠ -5$, pues esto ya se entiende. 

En conclusión, la forma simplificada se escribe como sigue:

Por regla general, solo podemos cancelar si el numerador y el denominador están en forma factorizada

Resumen del proceso de simplificación

• Paso 1: factoriza el numerador y el denominador.
• Paso 2: lista valores restringidos.
• Paso 3: cancela factores comunes.
• Paso 4: simplifica y haz notar cualquier otro valor restringido que no aparezca en la expresión.

Video explicativo del tema: